Martin boundary theory of some quantum random walks

In this paper we define a general setting for Martin boundary theory associated to quantum random walks, and prove a representation theorem. We show that in the dual of a simply connected Lie subgroup of U(n), the extremal Martin boundary is homeomorphic to a sphere. Then, we investigate restriction of quantum random walks to Abelian subalgebras of group algebras, and establish a Ney–Spitzer theorem for an elementary random walk on the fusion algebra of SU(n), generalizing a previous result of Biane. We also consider the restriction of a quantum random walk on SUq(n) introduced by Izumi to two natural Abelian subalgebras, and relate the underlying Markov chains by classical probabilistic processes. This result generalizes a result of Biane.  2004 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Dans cet article, nous définissons un cadre général pour la théorie de Martin associée à une large classe de marches au hasard sur le dual de groupes compacts, et établissons un théorème de représentation intégrale. Ensuite, nous montrons que dans le dual d’un sous-groupe de Lie simplement connexe de U(n), la frontière de Martin extremale est homéomorphe à une sphère. Nous nous concentrons alors sur la restriction de marches au hasard quantiques à certaines sous-algèbres Abéliennes d’algèbres de groupes, et établissons un théorème de Ney–Spitzer pour une marche au hasard “de Bernoulli” sur l’algèbre de fusion de SU(n). Nous considérons aussi la restriction d’une marche au hasard quantique introduite par Izumi à deux sous-algèbres abéliennes distinctes, et relions les chaînes de Markov sous-jacentes par des procédés probabilistes classiques. Ce résultat généralise un résultat de Biane.  2004 Elsevier SAS. All rights reserved.